KURZUS: Számítógépes folyamatirányítás

MODUL: A funkciók

5.3. lecke: Számítások és ellenőrzések

| Cél: A lecke célja, hogy a tananyag felhasználója megismerje:
a folyamatjelek időderiváltjának jelentését, az idő szerinti differenciálás jelentőségét és az időderivált közelítő kiszámításának néhány formuláját; a folyamatjelek idő szerinti integráljának jelentését (ahol van!) és az idő szerinti integrál közelítő kiszámításának néhány formuláját; a differenciálás és az integrálás zavarokkal kapcsolatos viselkedését; a folyamatváltozó határértékének fogalmát, a határérték-vizsgálat jelentőségét, a határértékek típusait, és azok funkcióit, a digitális bemeneti jelek változásfigyelésének jelentőségét és a változásfigyelés algoritmusát.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
el tudja mondani az idő szerinti derivált jelentését és közelítő kiszámításának gyakoribb formuláit; tudja, hogy az idő szerinti integrálhoz fizikai tartalom nem minden esetben rendelhető, ahol viszont igen, ott el tudja mondani az integrál jelentését; valamint ismertetni tudja az időintegrál közelítő kiszámításának gyakoribb formuláit; el tudja mondani a folyamatváltozó határértékének fogalmát, ismertetni tudja a határérték-vizsgálat jelentőségét, fel tudja sorolni a határértékek típusait és az egyes típusok funkcióit; el tudja mondani a digitális bemeneti jelek változásfigyelésének jelentőségét és a változásfigyelés algoritmusát.
Időszükséglet: 1 óra
Kulcsfogalmak:
differenciahányados, kétpontos (differenciáló) formula, négypontos (differenciáló) formula, elemi jelterületek összegzése, téglányszabály, trapéz-szabály, határérték-vizsgálat, a határértékek fajtánként, hiszterézis (határértéknél), változásfigyelés (digitális bemeneteké).
1. Számítások
Ezt a fejezetet elintézhetnénk egy nem is túl alaptalan kijelentéssel: "A számítógép bármilyen képletet ki tud számítani, ha a szükséges bemenő adatok rendelkezésre állnak; a kiszámítandó képletek az irányítandó folyamatra specifikusak; konkrét esetben a technológus-mérnök adja meg őket, és ki lesznek számítva." Ráadásul eddig is foglalkoztunk számításokkal, mert a digitális szűrés, a méréskorrekció és a fizikai értékre való átszámítás is számítás volt. Akkor itt milyenekről lesz szó? Nos, olyanokról, amelyek még elég általánosak, szinte minden irányító rendszerben szükségesek és még mindig függetlenek a konkrét technológiai tartalomtól. Olyan számított folyamatváltozók képzéséről lesz szó, amelyek nem, vagy csak körülményesen mérhetők közvetlenül, de igen fontos információt hordoznak. Két műveletet tárgyalunk: az idő szerinti differenciálást és az idő szerinti integrálást.
1.1. Az idő szerinti differenciálás
Fogalmazza meg az idő szerinti derivált jelentését és közelítő kiszámításának gyakoribb formuláit
Az idő szerinti differenciálás, pontosabban az időderivált adott pillanatbeli értékének meghatározása bármilyen folyamatos analóg jellel kapcsolatban felmerülhető, mindig értelmes feladat. Az időderivált ugyanis egy mennyiség változási sebességét adja meg és ennek ismerete bármilyen folyamatváltozó esetében fontos lehet.
A digitális számítógép természetesen nem tudja analitikusan előállítani a jel deriváltját és meghatározni annak helyettesítési értékét, hanem csak a differenciálhányadost adott pillanatban közelítő differenciahányadost tudja kiszámítani a jelminták alapján. Az, hogy ez a közelítés elfogadható-e, vagy teljesen hibás, a mintavételi törvény betartásától függ. Ha a mintavételi feltétel teljesül, akkor a differenciahányados valóban az eredeti folyamatos jel differenciálhányadosát közelíti, ha viszont nem, akkor a kiszámított érték csak semmitmondó, üres (vagy félrevezető és veszélyes!) adat. Ezt korábban egy ábrán már szemléltettük.
A legegyszerűbb deriválási képlet az un. kétpontos formula, ahol a differenciahányadost a pillanatnyi és a megelőző minta alapján számítjuk:
d x(t) d t | t= t n ≈ x n − x n−1 τ (1)
ahol τ a mintavételi idő. A számlálóban két minta különbsége szerepel. Ha a jel lassú változású, a differenciahányadosnak közel zérus értékűnek kell lennie. Ha a jelre a szomszédos mintavételi időpontokban ellentétes előjelű zavarimpulzusok szuperponálódnak, a különbségképzéskor a közel azonos értékű hasznos jelkomponens kiesik, míg a zavaramplitúdók összegződnek! Így a differenciahányados nem a jelből, hanem a zavarokból képződik és teljesen hamis értéket adhat. Ez még akkor is így lehet, ha a zavarokra is betartjuk a mintavételi törvényt. Jegyezzük meg: a differenciálás rendkívül zavarérzékeny művelet, ezért deriválni kizárólag csak szűrt jelet szabad.
A zavarérzékenység mélyebb összefüggésben is megvilágítható. A differenciálás a változásokra érzékeny, gyors változáskor ad nagy értéket. Ha egy jel gyorsan változik, az arra utal, hogy spektrumában a nagyfrekvenciás komponensek dominálnak. A differenciáló elem felüláteresztő jellegű, ami azt jelenti, hogy ezeket a zajból eredő komponenseket nemhogy nem csillapítja, hanem kiemeli.
Kevésbé zavarérzékeny az un. négypontos formula. Itt a differenciahányadost négy egymás utáni mintából számítják úgy, hogy a két szélső és a két belső mintából adódó differenciahányadosok átlagát képezik:
d x(t) d t | t= t n ≈ x n − x n−3 3 τ + x n−1 − x n−2 τ 2 = x n +3 x n−1 −3 x n−2 − x n−3 6 τ
(Vegyük észre, hogy itt a szélső és a belső differenciahányadosok átlagoló szűrése valósul meg, így el is várhatjuk, hogy javuljon a helyzet.)
A két- és a négypontos formula összehasonlítása
1. ábra
Az 1.a ábrán egy zavarral terhelt állandó jel kétpontos, a b ábrán pedig négypontos differenciálását szemléltetjük. (A deriváltnak természetesen nullának kellene lennie, mert a jel állandó.) A b ábrán a külső mintákból számított meredekség (K) és a belső mintákból számított meredekség (B) átlaga már inkább zérus.
Igen ritkán szükség lehet egy jel másodrendű időderiváltjának (gyorsulásának) meghatározására is. Ennek közelítő formuláját a másodrendű szűrő tárgyalásakor már megadtuk.
1.2. Az idő szerinti integrálás
Fogalmazza meg tudja mondani az integrál jelentését; valamint ismertesse az időintegrál közelítő kiszámításának gyakoribb formuláit;
Míg az idő szerinti differenciálás - mint említettük - minden jellel kapcsolatban értelmes művelet lehet, ez nem mondható el az idő szerinti integrálásról. Például egy kazánban lévő gőz nyomását lehet ugyan integrálni, de milyen fizikai (vagy technológiai) jelentés tulajdonítható az így kapott értéknek?
Az integrálás általában akkor értelmes feladat, ha a mért, integrálandó jel valamilyen extenzív fizikai mennyiség árama (idő szerinti deriváltja). Ilyen pl. a villamos áram, a tömegáram, a térfogatáram, de ilyen a teljesítmény is (energiaáram). Az ilyen, un. általános áramok időintegrálja egy bázisidőponttól számítva megadja a teljes átáramlott (felhasznált) mennyiséget, a fogyasztást.
A digitális számítógép természetesen nem tudja előállítani a primitív függvényt, majd annak a határokon vett helyettesítési értékeiből kiszámítani az integrál értékét. Az integrálás numerikusan, közelítőleg végezhető el: a jelmintákból és a mintavételi időből számítható elemi jelterületek összegzésével. A numerikus analízis számtalan integrálási eljárást kínál; mi itt a két legegyszerűbbet mutatjuk be, amelyek azonban a folyamatirányítás igényeit általában kielégítik.
A) Téglányszabály:
I n = ∫ 0 t n x(t)d t ≈ ∑ i=1 n x i τ
vagy rekurzív formában:
I n = I n−1 + x n τ
B) Trapéz-szabály:
I n = ∫ 0 t n x(t)d t ≈ ∑ i=1 n x i−1 + x i 2 τ
illetve a rekurzív formula:
I n = I n−1 + x n−1 + x n 2 τ
Az integrálás - a differenciálással ellentétben - nem zavarérzékeny, sőt, szűrő hatású. Ez pontosabban azt jelenti, hogy ha egy jelre szinuszos, vagy bármilyen más, zérusátlagú periodikus zavar szuperponálódik, a periódusidő egész-számú többszörösére számított integrálból a zavar teljesen eltűnik. Mélyebb összefüggésben: az integráló elem drasztikusan aluláteresztő-jellegű, így a lassú folyamatjelnél nagyobb frekvenciájú zajkomponenseket erőteljesen csillapítja.
Gondoljon vissza, volt-e már szó - és ha igen, hol - az integrálás szűrőhatásáról!
2. Ellenőrzések
Az ellenőrzési funkciók közé az analóg jelek határérték-vizsgálatát és a digitális jelek változásfigyelését soroljuk.
2.1. A határérték-vizsgálat
Az analóg folyamatváltozók értéke normális üzemmenet esetén bizonyos intervallumba kell, hogy essen. Ha a változó ebből a tartományból kilép, az eseményt jelent, amit detektálni és amire reagálni kell. A változó aktuális értékét folyamatosan össze kell hasonlítani az intervallumhatárokat kijelölő értékekkel (határértékek), és ha az aktuális érték nagyobb a felső, vagy kisebb az alsó határértéknél, jelzést kell generálni a kezelő számára. Ez a jelzés akkor szüntethető meg, ha a kezelő tudomásul vette (nyugtázta), vagy ha a túllépés időközben megszűnt.
A határértékeknek különböző aspektusból különböző típusai léteznek. Az alábbiakban ezeket tekintjük át.
Az un. statikus határértékek a folyamatváltozó értékének, a dinamikus határértékek pedig a jel változási sebességének (időderiváltjának) megengedett tartományait jelölik ki. Elképzelhető olyan eset, hogy a jel még a megengedett intervallumban van (tehát nincs statikus határérték túllépés), de olyan gyorsan változik, hogy a jelsebesség a dinamikus határértéket túllépi. Ez a tény a normálistól eltérő, esetleg veszélyes üzemállapot közelgő kialakulására utalhat.
Az igényelt válaszreakciótól függően van un. normál üzemi határérték, vészhatárérték, és hihetőségi határérték.
A normál üzemi határérték túllépése figyelmeztető jelzést generál. Ez a túllépés nem jelent különleges állapotot és csak bizonyos, üzemszerű beavatkozást igényel, amit vagy maga a számítógép hajt végre automatikusan, vagy a kezelő végez el. Például egy olajtartály töltésekor észre kell venni, ha a tartály megtelik (szinthatár-túllépés történik) és le kell állítani a töltő szivattyút.
A vészhatárérték túllépése veszélyes üzemállapot létrejöttére utal. Ilyenkor vészjelzés generálódik és a veszélyeztetett részfolyamatot (esetleg az egész technológiát) azonnal le kell állítani. A leállítás történhet automatikusan, vagy kezelői beavatkozással. Az előző példát folytatva: a szivattyú nem állt le, az olajszint elérte a tartály tetejét, az olaj rögtön kiömlik, vagy már ki is ömlött. A tartály töltőnyílását tolózárral azonnal el kell zárni és hívni kell a tűzoltókat.
A hihetőségi határértékek a jelátalakítók, a bemeneti perifériák és a feldolgozó programok helyes működése során létrejöhető legkisebb és legnagyobb jelértékeket adják meg. Ha egy jel e határok valamelyikét túllépi, az egyértelműen a feldolgozó rendszer valamely elemének hibás működésére utal. Ilyenkor a jel további feldolgozását le kell tiltani. Példánkban: a 10m magas tartály szintmérőjéről hirtelen olyan jel érkezik be, amely 12m-es szintre utal. Most nem a tűzoltókat, hanem a műszerészeket kell hívni.
Az utóbb felsorolt három határérték-típus mindegyike egyaránt lehet statikus, vagy dinamikus jellegű.
A folyamatváltozók értéke a határérték szűk környezetében ingadozhat (pl. a tartályban az olaj felszíne hullámzik). Így a határérték-túllépés egyik pillanatban fennállhat, másikban nem (2. ábra).
A hiszterézis hatása
2. ábra
Hogy az ismétlődő túllépések ne váltsanak ki ismétlődő jelzést és jelzés-visszavonást, a határértékhez (FH) egy hiszterézis-sávot (H) szokás rendelni. Ebben az esetben a túllépés-jelzés visszavonása csak akkor történik meg, ha a jel értéke a normál üzemi tartomány felé haladva már a hiszterézissel módosított határértéket is átlépte.
2.2. A digitális bemeneti jelek változásfigyelése
A digitális bementi állapotjelek (többnyire független bitek) feldolgozása során jelzési, vagy beavatkozási igény rendszerint csak a bitek megváltozásához kötődik, így gyakran elegendő csak a bitek változását figyelni, vagyis a beérkezett bithalmazból csak a megváltozottakkal foglalkozni.
Említettük, hogy több bit együtt, nagyobb egységekbe, gépi szavakba rendezve érkezik be. A gépi szóból ki kell választani azokat a bitpozíciókat, ahol változás történt, és meg kell állapítani a változás irányát (0 →1: felfutó él, 1 →0: lefutó él). A változás észleléséhez a szó megelőző (az előző lekérdezéskor bejött) értékét tárolni kell.
Az azonosító algoritmus a következőképpen működik. Először a régi és az új szó tartalmát KIZÁRÓ-VAGY kapcsolatba kell hozni. Ennek eredményeképpen létrejön egy változás-szó, melynek azon helyein lesz logikai 1-érték, ahol változás történt. Ezután annyi szelektív maszkot kell létrehozni, ahány bites a szó. Minden ilyen maszk csak egy biten tartalmaz 1-es értéket. Ezek után egy ciklusban minden egyes maszkot rá kell illeszteni a változás-szóra (logikai ÉS-művelet). Amely maszknál a művelet zérus eredményt ad, ott a maszk által kijelölt biten nem volt változás. Ha az eredmény nem nulla, akkor változás történt. Ekkor a maszkot rá kell illeszteni az új adatszóra is. Ha az eredmény zéró, akkor a változás helyén az új szóban 0 érték van, tehát a változás 1 →0 volt. Ha az eredmény nem zéró, akkor 0 →1 átmenet zajlott le. Így az összes bitváltozás helye és iránya megállapítható. Az algoritmus befejeződése után a régi szót felül kell írni az újjal, mert a következő lekérdezéskor már ez képviseli a régi értéket.
A digitális bemeneti perifériák tárgyalásakor szóltunk a változás-érzékeny adatbemenetről. Az ilyen bemenet alkalmazása nem helyettesítheti a fenti algoritmust, mert a periféria nem bit-szelektív, csak a változás tényét és helyeit észleli, de nem azonosítja egyenként a megváltozott biteket és nem határozza meg a változások irányát sem. Az ilyen perifériák alkalmazásával csak annyit nyerhetünk, hogy a változás megszakítást generál, tehát felhívja magára a figyelmet, továbbá nem kell a régi adatszót tárolni és KIZÁRÓ-VAGY művelettel létrehozni a változás-szót, mert az beolvasható a perifériáról.
Lépjen ki a tananyagból! Gondolja át a lecke tartalmát, rekonstruálja a szerkezetét! Vegyen elő egy lapot és írja le a lecke vázlatát! Ne sajnálja az erre fordított időt! Ha gondosan megcsinálja, már majdnem tudja is az anyagot.

| Önellenőrző kérdések
1. Fogalmazza meg egy analóg folyamatváltozó idő szerinti deriváltjának jelentését, és írja fel a két leggyakoribb közelítő differenciáló formulát!
2. Rajzos példán mutassa meg a differenciálás zavarérzékenységét!
3. Egy mintasorozat első négy eleme: 1 V, 2 V, 1 V, 1 V. A mintavételi idő 0.2 sec. Számítsa ki a második mintavételi időponthoz tartozó kétpontos és a negyedik mintavételi időponthoz tartozó négypontos közelítő deriváltat! Jelölje meg a helyes eredmény-párt!
| 2 V/sec és -2.5 V/sec
| 5 V/sec és 3 V/sec
| 5 V/sec és -2.5 V/sec
| 2 V/sec és 3 V/sec
4. Fogalmazza meg egy analóg folyamatváltozó idő szerinti integráljának jelentését, és írja fel a két leggyakoribb közelítő integráló formulát!
5. Fogalmazza meg a határérték-vizsgálat szerepét, sorolja fel a határérték-típusokat, és mondja el azok funkcióit!
6. Egy tartályban lévő folyadék szintjének 10 m a felső üzemi határértéke. Ha a szint ezt eléri, határérték-jelzés jön létre. 10 cm hiszterézis esetén mekkora szintnél szűnik meg a jelzés?
| 9 m
| 10 m
| 9.9 m
| 9.95 m
| 9.85 m
7. Fogalmazza meg a digitális bemeneti jelek (állapotjelek) változásfigyelésének szerepét és mondja el annak algoritmusát!
8. Egy digitális bemeneti periférián két egymást követő lekérdezés során az alábbi két bájt érkezik be: 1. - 11001010 2. - 10000110. Határozza meg a változás-bájtot!
| 10000010
| 01001100
| 11001110
| 10110011